Ejercicios
1) Sean A, B, C, los siguientes conjuntos:
A = { {1,3}, {2,4,6}, {8,9}}
B = { 1,2,3,4,6,8,9}
C = { {1}, {3}, {2}, {4}, {6}, {8}, {9}}
- Es correcto decir que A = B = C ?. Explique.
- Para cada una de las siguientes expresiones; diga si es correcto o no.
{1,3} ∈A {1,3} ⊂ B {1} ∈ A {1} ⊂ A
{1,3} ⊂ A {1,3} ∈ C {1} ∈ B {1} ⊂ B
​
{1,3} ∈ B {1,3} ⊂ C {1} ∈ C {1} ⊂ C
​
{{1}, {2}} ⊂ B {{1}, {2}} ⊂ {{1,3} } ⊂ A.
2)Si A = {x}; B = {{x}}; ¿ Cuáles de las siguientes expresiones son correctas?
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x ∈ A {x} ⊂ A {x} ∈ B A ∈ B {A} ⊂ B
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x ∈ B {x} ⊂ B {{x}} ⊂ A A ⊂ B {A} = B.
​
3) Dados los siguientes conjuntos:
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F: El conjunto de los números de cuatro cifras, donde dos al menos de dichas cifras son cero.
G: El conjunto de números de cuatro cifras, donde una al menos de dichas cifras es cero.
H: El conjunto de números de cuatro cifras, dos de las cuales son cero y las otras dos diferentes de cero.
Determine todas las posibles relaciones de inclusión que se pueden establecer entre los conjuntos F, G y H.
4) Sea A = {0,1,2,3} y B = {0, {0},3,5}
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-
Determine todos los subconjuntos de A.
-
Determine todos los subconjuntos de B.
5) Sea A el conjunto de todos los números naturales que verifican la ecuación:
(x - 2)(x + 1) = 0.
Sea B = {A, 1}, ¿ Cuáles de las siguientes expresiones son verdaderas?.
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-1 ∈ A, 2 ∈ B, 1 ∈ A, {2} ∈ B, {2} ∈ A.
6) Sean:
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X = {a, b, c, e, u, k, m, n, t, {a}, {x}, {y}, {c}}, considerado como conjunto referencial,
A = {{x}, {y}, a, b, u, {a}, t} y B = {c, {a}, {x}, {y}, m, t}.
Determinar A' y B'.
7) Sea A = {0, ∅ }. En el espacio en blanco coloque los signos apropiados entre ∈ , ∉ , ⊂ , ⊄ .
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0 ____ P(A) {0, ∅ } ____ P(A) {{∅ },∅ } ____ P(A)
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{0} ____ A {∅ } ____P(A) {{∅ },0} ____P(A)
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∅ ____ P(A) {{∅ }} ____P(A) {{0},{∅ }} ____P(A)
​
∅ ____ A {0, ∅ } ____ A
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{∅ } ____ A {{0}, 0} ____P(A).
8) Sean A = {0,{ 1,2}}; B = { 1,2}; C = {1, {∅ }}.
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Determinar P(A), P(P(B)), P(C).
9) si A es el conjunto de números de dos cifras tales que la primera cifra es mayor que la segunda y B el conjunto de números de dos cifras tales que la primera cifra es menor que la segunda, expresar A + B y A• B.
10) Suponga que el conjunto universal es el conjunto de los números enteros positivos. Defina S, E y M así:
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S: Conjunto de todos los enteros positivos menores o iguales a 6.
E: Conjunto de todos los enteros positivos pares.
M: Conjunto de todos los enteros positivos múltiplos de tres.
Escriba expresiones algebraicas simples en términos de S, E y M para los siguientes conjuntos:
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-
{3,6}, {1,3,5}..
-
Todos los enteros positivos múltiplos de 6.
-
Todos los enteros pares mayores que 6.
-
El conjunto que contiene todos los múltiplos de 3 y todos los enteros impares.
11) Dar contraejemplos para los recíprocos de cada uno de los siguientes teoremas:
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-
A ⊂ B ∧ B ⊂ C ⇒ A ⊂ C.
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-
X ⊂ A ∧ X ⊂ B ⇒ X ⊂ A + B.
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-
B ⊂ A ⇒ B + C ⊂ A + C.
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-
B ⊂ A ⇒ B• C ⊂ A• C.
12) Aplicando leyes fundamentales para el álgebra de conjuntos simplifique las siguientes expresiones.(Cada expresión se reduce a un sólo símbolo).
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-
A• B'• A'• B'.
​
-
A• B + A• B' + A'• B + A'• B'.
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-
A• C' + A• B• C + A• C.
​
-
A• B• C + A' + B' + C'.
​
-
(A + B)( A' + B).
​
-
vv
-
(A + A• B + A• B• C) (A + B + C).
​
-
( A• B' + A'• B )' ( A• B + A'• B' )'.
​
-
A• B• C + A• B• C' + A• B'• C + A'• B• C + A• B'• C' + A'• B• C' + A'• B'• C + A'• B'• C'.
13) Simplificar las siguientes expresiones, justificando cada paso.
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-
(A• B + A• C + A'• X'• Y)( A• B'• C + A'• X'• Y' + A'• B• Y)'.
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-
X• Y(X• Z' + X• Y + X• Y• Z).
​
-
(X• Y + X'• Y' + X• Y' )' ((X' + Y' )( X + Y' ))'.
14) Escriba cada una de las siguientes condiciones sobre los conjuntos X, Y y Z, sin hacer uso del símbolo "⊂ ".
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X'• Y ⊂ Z
X + Y' ⊂ Z.
X• Y' + X'• Y ⊂ Z + Y'
X ⊂ Y' ⊂ Z.
15) Encuentre una proposición equivalente en términos de inclusión para cada una de las siguientes condiciones sobre los conjuntos X, Y , Z y W.
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( X' + Y )( Z + W' )' = 0
( X' + Y )( Z + W' ) = 0.
X + Y' + Z' + W' = 1
X• Y' + Z'• W = 0.