CONCEPTO CONJUNTO

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¿Qué es conjunto?

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Un conjunto se define como la agrupación de diferentes elementos que comparten entre sí características y propiedades semejantes. Estos elementos pueden ser cualquier cosa, tales como números, canciones, meses, personas, etcétera.

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A su vez un conjunto puede convertirse también en un elemento. Por ejemplo, un ramo de flores. En principio una flor sería el primer elemento, pero al conjunto de flores se lo puede considerar luego como un ramo de flores, convirtiéndose así, en un nuevo elemento.

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Tipos de conjuntos

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A la hora de formar un conjunto, la manera y el porque de como los agrupamos puede variar, dando lugar entonces a los diferentes tipos de conjuntos:

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• Conjuntos finito: La característica de este conjunto es que sus elementos pueden ser contar o enumerar en su totalidad. Por ejemplo, los meses del año establecen un conjunto finito: enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio, agosto, septiembre, octubre, noviembre y diciembre.

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• Conjunto infinito: Un conjunto será infinito cuando sus elementos sean imposibles de contar o enumerar en su totalidad, debido a que no tienen fin. Los números son un claro ejemplo de un conjunto infinito.

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• Conjunto unitario: Aquel que está compuesto por un único elemento. La luna se encuentra dentro de este conjunto, pues es el único satélite natural del planeta tierra.

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• Conjunto vacío: se trata de un conjunto el cual no presenta ni tiene elementos.

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• Conjunto homogéneo: Conjuntos cuyos elementos presentan una misma clase o categoría.

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• Conjunto heterogéneo: Los elementos de estos conjuntos difieren en clase y categoría.

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• Conjuntos equivalentes: Serán equivalentes aquellos conjuntos cuya cantidad de elementos sea la misma.

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• Conjuntos iguales: Podrá decirse que dos o más conjuntos son iguales, cuando estén compuestos por elementos idénticos.

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El término conjunto en otros campos

 

 

• Un conjunto vocal es la agrupación de personas que interpreta una obra musical.

      A pesar de utilizarse el significado general que da la matemática para         la palabra conjunto, la misma puede emplearse para otras áreas:

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• Conjunto musical: Se le llamará así a aquella agrupación que contenga dos o más personas que, a través de la voz o instrumento musicales, representan trabajos musicales con estilos específicos.

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• Conjunto en programación: En programación se le llama conjunto a una agrupación de diversos valores, que no poseen un orden determinado ni valores duplicados.

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• Conjunto vocal: Es la agrupación de personas que interpreta una obra musical de forma coordinada.

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• Conjunto numérico: Agrupación de números mediante una serie de propiedades estructuradas.

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• Conjunto de instrucciones: Se le llama así al documento técnico que posee las instrucciones que una CPU de computadora puede ejecutar.

 

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Operaciones Fundamentales con Conjuntos.


Unión. La unión de los conjuntos A y B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota la unión de A y B por A + B y se llama unión de A y B.

En consecuencia,

x ∈ ( A + B) ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B.

Entonces se puede expresar por comprensión este conjunto así:
 

A + B = {x / x ∈ A ∨ x ∈ B }

Una interpretación gráfica de la unión de A y B es la siguiente:
 

En la gráfica la región rayada corresponde a la unión de A y B. Se presentan los conjuntos dentro de un rectángulo que representa el conjunto referencial del cual se seleccionan los conjuntos A y B.


Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que son comunes a A y a B, esto es, aquellos que pertenecen a A y que también pertenecen a B. Se denota la intersección de A y B por A • B y se lee "A intersección B".

En consecuencia,

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x ∈ A• B ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B.

El conjunto A• B está dado por:

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A• B = { x / x ∈ A ∧ x ∈ B }.

Gráficamente, una representación de A• B es:
 

La región rayada corresponde a A• B. Cuando A y B no tienen elementos comunes, se dice que son disjuntos.


Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto de todos los elementos que no pertenecen a A, es decir, el conjunto de todos los elementos que están en el Universal y no están en A. El complemento de A se denota por A'.

En consecuencia,

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x ∈ A' ⇔ x ∈ 1 ∧ x ∉ A.

Gráficamente, su representación está dada por:

A' = {x / x ∈ 1 ∧ x ∉ A }.

 

Leyes del Álgebra de Conjuntos.

Si 1 designa al conjunto universal y 0 al conjunto vacío, las siguientes identidades son válidas en el álgebra de conjuntos para conjuntos arbitrarios X, Y, Z.

Leyes conmutativas
 

XY = YX               X + Y = Y + X.

Leyes asociativas
 

X(YZ) = (XY)Z               X + (Y + Z) = (X + Y) + Z.

Leyes distributivas
 

X(Y + Z) = XY + XZ               X + YZ = (X + Y) (X + Z).

Leyes de idempotencia
 

XX = X               X + X = X.

Leyes de complementación
 

XX' = 0               X + X' = 1.

Leyes de absorción
 

X (X + Y) = X               X + XY = X.

Leyes de D'Morgan
 

( XY)' = (X' + Y')               (X + Y )' = X'Y'.

Leyes con 0 y 1
 

X 1 = X               X + 0 = X.

X 0 = 0               X + 1 = 1.

0' = 1               1' = 0.

Ley de complemento doble
 

(X')' = X.

 

Es importante destacar la dualidad dada en estas leyes, es decir, si en cualquiera de las identidades, cada unión se reemplaza por una intersección, cada intersección por una unión, cada 0 por 1 y cada 1 por 0, la expresión resultante es también una identidad.

Ejercicios 3.1
 

 

1) Sean A, B, C, los siguientes conjuntos:

A = { {1,3}, {2,4,6}, {8,9}}

B = { 1,2,3,4,6,8,9}

C = { {1}, {3}, {2}, {4}, {6}, {8}, {9}}
 

- Es correcto decir que A = B = C ?. Explique.

- Para cada una de las siguientes expresiones; diga si es correcto o no.
 

{1,3} ∈A               {1,3} ⊂ B               {1} ∈ A               {1} ⊂ A

 

{1,3} ⊂ A               {1,3} ∈ C               {1} ∈ B               {1} ⊂ B

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{1,3} ∈ B               {1,3} ⊂ C               {1} ∈ C               {1} ⊂ C

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{{1}, {2}} ⊂ B     {{1}, {2}} ⊂ C       {{1,3} } ⊂ A.

 

2)Si A = {x}; B = {{x}}; ¿ Cuáles de las siguientes expresiones son correctas?

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x ∈ A               {x} ⊂ A               {x} ∈ B               A ∈ B               {A} ⊂ B

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x ∈ B               {x} ⊂ B               {{x}} ⊂ A           A ⊂ B              {A} = B.

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3) Dados los siguientes conjuntos:

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F: El conjunto de los números de cuatro cifras, donde dos al menos de dichas cifras son cero.

G: El conjunto de números de cuatro cifras, donde una al menos de dichas cifras es cero.

H: El conjunto de números de cuatro cifras, dos de las cuales son cero y las otras dos diferentes de cero.

Determine todas las posibles relaciones de inclusión que se pueden establecer entre los conjuntos F, G y H.

 

4) Sea A = {0,1,2,3} y B = {0, {0},3,5}

• Determine todos los subconjuntos de A.

• Determine todos los subconjuntos de B.

 

5) Sea A el conjunto de todos los números naturales que verifican la ecuación:
(x - 2)(x + 1) = 0.
Sea B = {A, 1}, ¿ Cuáles de las siguientes expresiones son verdaderas?.

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-1 ∈ A,               2 ∈ B,               1 ∈ A,               {2} ∈ B,               {2} ∈ A.

 

6) Sean:

X = {a, b, c, e, u, k, m, n, t, {a}, {x}, {y}, {c}}, considerado como conjunto referencial,

A = {{x}, {y}, a, b, u, {a}, t} y B = {c, {a}, {x}, {y}, m, t}.

Determinar A' y B'.

 

7) Sea A = {0, ∅ }. En el espacio en blanco coloque los signos apropiados entre ∈ , ∉ , ⊂ , ⊄ .

0 ____ P(A)                  {0, ∅ } ____ P(A)                  {{∅ },∅ } ____ P(A)

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{0} ____ A                    {∅ } ____P(A)                        {{∅ },0} ____P(A)

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∅ ____ P(A)                  {{∅ }} ____P(A)                    {{0},{∅ }} ____P(A)

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∅ ____ A                        {0, ∅ } ____ A

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{∅ } ____ A                   {{0}, 0} ____P(A).


 

8) Sean A = {0,{ 1,2}}; B = { 1,2}; C = {1, {∅ }}.

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Determinar P(A), P(P(B)), P(C).

 

9) si A es el conjunto de números de dos cifras tales que la primera cifra es mayor que la segunda y B el conjunto de números de dos cifras tales que la primera cifra es menor que la segunda, expresar A + B y A• B.

 

10) Suponga que el conjunto universal es el conjunto de los números enteros positivos. Defina S, E y M así:

S: Conjunto de todos los enteros positivos menores o iguales a 6.

E: Conjunto de todos los enteros positivos pares.

M: Conjunto de todos los enteros positivos múltiplos de tres.

Escriba expresiones algebraicas simples en términos de S, E y M para los siguientes conjuntos:

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• {3,6}, {1,3,5}..

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• Todos los enteros positivos múltiplos de 6.

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• Todos los enteros pares mayores que 6.

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• El conjunto que contiene todos los múltiplos de 3 y todos los enteros impares.

 

11) Dar contraejemplos para los recíprocos de cada uno de los siguientes teoremas:

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• A ⊂ B ∧ B ⊂ C ⇒ A ⊂ C.

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• X ⊂ A ∧ X ⊂ B ⇒ X ⊂ A + B.

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• B ⊂ A ⇒ B + C ⊂ A + C.

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• B ⊂ A ⇒ B• C ⊂ A• C.

 

12) Aplicando leyes fundamentales para el álgebra de conjuntos simplifique las siguientes expresiones.(Cada expresión se reduce a un sólo símbolo).

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• A• B'• A'• B'.

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• A• B + A• B' + A'• B + A'• B'.

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• A• C' + A• B• C + A• C.

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• A• B• C + A' + B' + C'.

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• (A + B)( A' + B).

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• vv

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• (A + A• B + A• B• C) (A + B + C).

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• ( A• B' + A'• B )' ( A• B + A'• B' )'.

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• A• B• C + A• B• C' + A• B'• C + A'• B• C + A• B'• C' + A'• B• C' + A'• B'• C + A'• B'• C'.

 

13) Simplificar las siguientes expresiones, justificando cada paso.

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• (A• B + A• C + A'• X'• Y)( A• B'• C + A'• X'• Y' + A'• B• Y)'.

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• X• Y(X• Z' + X• Y + X• Y• Z).

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• (X• Y + X'• Y' + X• Y' )' ((X' + Y' )( X + Y' ))'.

 

14) Escriba cada una de las siguientes condiciones sobre los conjuntos X, Y y Z, sin hacer uso del símbolo "⊂ ".

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X'• Y ⊂ Z

X + Y' ⊂ Z.

X• Y' + X'• Y ⊂ Z + Y'

X ⊂ Y' ⊂ Z.

 

15) Encuentre una proposición equivalente en términos de inclusión para cada una de las siguientes condiciones sobre los conjuntos X, Y , Z y W.

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( X' + Y )( Z + W' )' = 0

( X' + Y )( Z + W' ) = 0.

X + Y' + Z' + W' = 1

X• Y' + Z'• W = 0.

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