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Para racionalizar radicales cuando sólo tengamos una raíz en el denominador, vamos a eliminarla aplicando la siguiente propiedad:

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Es decir, tenemos que conseguir que la raíz se anule y para ello debemos hacer que el exponente sea igual que el índice.

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Para conseguirlo, tenemos que multiplicar la raíz del denominador, por otra raíz, tal que al multiplicarlas, su resultado sea otra raíz que se anule. Y para no modificar el resultado, se multiplica el numerador por la misma raíz.

Para ello, debes tener en cuenta que:

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• Las raíces deben tener el mismo índice para poderlas multiplicar

• Al multiplicar dos potencias con la misma base, se suman los exponentes

• El exponente del radicando de la nueva raíz, debe complementarse con el exponente del radicando de la raíz actual, para que su suma sea igual al índice de las raíces

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Vamos a verlo más despacio con un ejemplo:

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Para empezar a eliminar la raíz del denominador, la multiplicamos por otra que tenga el mismo índice:

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El radicando de la nueva raíz, debe ser una potencia con la misma base que la raíz actual:

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Y su exponente, debe ser tal, que al sumarlo con el exponente de la raíz actual, su resultado sea igual al índice. Es decir, el exponente del radicando de la raíz actual es 2 y queremos otro exponente (x) que al sumarlo, el resultado sea 5, por tanto, ese exponente será 3:

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Y lo colocamos en la nueva raíz:

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Ahora que hemos obtenido la raíz por la que tenemos que multiplicar el denominador, para no modificar el resultado de la expresión, debemos multiplicar también el numerador:

 

Y a partir de aquí, empezamos a realizar la multiplicación en el denominador. En primer lugar, unimos las dos raíces en una:

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Multiplicamos las potencias, manteniendo la base y sumando los exponentes:

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Y finalmente, la raíz se anula con el exponente del radicando, que era lo que estábamos buscando desde el principio:

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Vamos a ver otro ejemplo de racionalizar radicales, para que te quede aún más claro:

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En primer lugar, multiplicamos por una raíz con el mismo índice:

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Dentro de la nueva raíz, la potencia debe tener la misma base:

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Y su exponente resulta de restar el índice menos el exponente del radicando de la raíz actual:

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Multiplicamos también el numerador por la raíz obtenida:

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Y empezamos a multiplicar las raíces en el denominador, unificándolas en una sola raíz:

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Ahora multiplicamos las potencias que tenemos dentro de la nueva raíz, manteniendo la base y sumando los exponentes:

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Y finalmente se anula la raíz del denominador:

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